選択肢を変えるべきなのだろうか?

数学 統計

今回紹介するのは、司会者モンティ・ホールがアメリカのテレビ番組『Let’s make a deal』で紹介した問題です。

【問題】

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■プレイヤー(あなた)の前に閉じた3つのドアがあります。
(上の写真で、左から「ドア ①」「ドア ②」「ドア ③」としましょう。)

1つのドアの後ろに、景品の「新車」が、2つのドアの後ろには、ハズレの「ヤギ」が用意されています。あたりを選べれば「新車」が手に入ります。
(なぜ、ここではヤギがハズレを指すのかはわかりませんが、問題を解く上では、「あたり‥‥新車、ハズレ‥‥ヤギ」です。)

■まず、プレーヤー(あなた)が1つのドアを選択した後、
司会者のモンティ・ホールが残りのドアのうちハズレである「ヤギ」がいるドアを開けて「ヤギ」を見せ、そのドアはハズレであることを教えてくれました。

■さて、ここでプレーヤー(あなた)は、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われました。

ここでプレーヤー(あなた)はドアを変更すべきだろうか?

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正解は、
「最初に選んだドアではないドアに選択し直そうが、最初に選んだドアから選択肢を変更しないでいようが、ドアの向こうに、あたりの「新車」がある確率はともに「50%」なので、ドアを変えようが変まいがどちらでも構わない。」
です。

と思った方は、これ以降の記事も読んでいただく必要があります。

実は、本当の正解は、
「最初に選んだドアではないドアに選択し直す方が、あたりである「新車」を手に入れる確率が2倍になるので、最初に選んだドアではないドアに選択し直す。」

です。

では、解説をご確認ください。

【解説】

■プレイヤー(あなた)の前に3つのドアがあります。
(上の写真で、左から「ドア ①」「ドア ②」「ドア ③」としましょう。)
→この時点では、どのドアを選ぼうが、ドアの向こうにあたりの「新車」がある確率は以下です。
ドア ① : 1/3(約33.3%)
ドア ② : 1/3(約33.3%)
ドア ③ : 1/3(約33.3%)

これはいいでしょう。

■まず、プレーヤー(あなた)が1つのドアを選択した後(ここでは、「ドア①」を選択したとしましょう。)、
司会者のモンティ・ホールが残りのドアのうちハズレである「ヤギ」がいるドアを開けて「ヤギ」を見せ、そのドアはハズレであることを教えてくれました。
(ここでは、司会者モンティ・ホールが「ドア③」をハズレだと教えてくれたことにしましょう。)

→つまり、それぞれのドアの向こうにあたりの「新車」がある確率は以下となります。
ドア ① : 1/3(約33.3%)
ドア ② : 2/3(約66.6%)
ドア ③ : 0/3(0%)

「ドア①」は、「ドア③」がハズレであることを知らないときに選択したので、
あたりの確率は、「1/3(約33.3%)」のままです。

では、なぜ、「ドア ② : 2/3(約66.6%)」になったのでしょうか。
これは、以下のようにイメージしてくれると理解しやすいと思います。

あなたが、ドア①を選んだ。
つまり、ドア②とドア③のどちらかにあたりがある確率は、「2/3(約66.6%)」
「ドア ② があたりである確率 【1/3(約33.3%)】」+「ドア③ があたりである確率【 1/3(約33.3%)】」
=「ドア②とドア③のどちらかにあたりがある確率【2/3(約66.6%】」

イメージ
[ドア① 「1/3(約33.3%)」]VS [ドア ② and ドア③ 「2/3(約66.6%)」]

司会者モンティ・ホールが「ドア③」をハズレだと教えてくれた。
→[ドア ② and ドア③ 「2/3(約66.6%)」]だったのに、ドア③は実はハズレだった。
→「ドア ② があたりである確率」
=「ドア②とドア③のどちらかにあたりがある確率【2/3(約66.6%】」-「ドア③ があたりである確率【 0/3(0%)】」

→「ドア ② があたりである確率」=「 2/3(約66.6%)」となります。

さて、最初に正解は、
「最初に選んだドアではないドアに選択し直そうが、最初に選んだドアから選択肢を変更しないでいようが、ドアの向こうに、あたりの「新車」がある確率はともに「50%」なので、ドアを変えようが変まいがどちらでも構わない。」
と思った方であっても心配はいりません。
多くの方が、直感的にそう思うのです。

上記の問題は、「モンティ・ホール問題」と呼ばれますが、
この問題に最初に正解した、IQ228のマリリン・ボス・サバントさん(東大生はIQ120、アインシュタインはIO190)は、正解を言った後、多くの博士号保持者や数学者から、「彼女の答えは、間違っている。」と批判を受けました。
ある博士からは、「数学者を何人集めれば、貴女の考えを改める事が可能でしょうか?」とも言われたとのこと。
そんな時、彼女は「現実が直観と反する時、人々は動揺する」と言ったそうです。

確かに、彼女の言うとおりだと思います。

「直観が正しいとは限らない。」

これは決して忘れてはいけないことでしょう。

※「モンティ・ホール問題」の解説は3パターンほどあるようなので、その解説が書かれたリンクを以下に貼っておきます。ぜひご確認ください。

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